The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0, XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0 → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__natsFrom(n__head(V12137062_4))) →⁺ U161(and(U111(isLNatKind(activate(V12137062_4)), activate(V12137062_4)), n__isNaturalKind(n__head(V12137062_4))), n__head(V12137062_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0,0].
The pumping substitution is [V12137062_4 / n__natsFrom(n__head(V12137062_4))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__natsFrom(n__head(V12137062_4))) →⁺ U161(and(U111(isLNatKind(activate(V12137062_4)), activate(V12137062_4)), n__isNaturalKind(n__head(V12137062_4))), n__head(V12137062_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,1].
The pumping substitution is [V12137062_4 / n__natsFrom(n__head(V12137062_4))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
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activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
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activate(X) → X

Types:
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n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatural, activate, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, and, isNaturalKind, isPLNatKind, isLNatKind, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isLNatKind, isNatural, activate, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, and, isNaturalKind, isPLNatKind, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isLNatKind.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNatural, activate, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, isNaturalKind, isPLNatKind, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U112 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U53 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U61 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U62 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U71 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U72 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U81 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U82 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U91 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U92 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, isNaturalKind, isPLNatKind, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U112 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U122 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U131 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U132 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U133 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U81 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U82 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U91 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U92 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
natsFrom, isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, isNaturalKind, isPLNatKind, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol natsFrom.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U122 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, isNaturalKind, isPLNatKind, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatural.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
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take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
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activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
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activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
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activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
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n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNaturalKind, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, isPLNatKind, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNaturalKind.

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, isPLNatKind, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isLNat.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isPLNatKind, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPLNatKind.

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U112 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U53 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U61 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U62 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U71 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U72 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U81 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U82 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U91 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U92 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isPLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U191, U202, fst, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPLNat.

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U112 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U122 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U131 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U132 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U133 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U141 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U91 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U92 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
afterNth, snd, splitAt, head, U191, U202, fst, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(27) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol afterNth.

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
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tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
snd, splitAt, head, U191, U202, fst, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(29) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol snd.

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
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n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
splitAt, head, U191, U202, fst, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(31) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol splitAt.

(32) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
U191, head, U202, fst, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(33) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U191.

(34) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U112 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U52 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U53 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U61 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U62 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U71 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U72 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U81 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U82 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U91 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U92 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
U202, head, fst, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(35) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U202.

(36) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U112 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U122 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U131 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U132 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U133 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U81 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U82 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U91 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U92 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__and :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
fst, head, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(37) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol fst.

(38) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
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tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U102 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNatural :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
activate :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNat :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U11 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__nil :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isNaturalKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isPLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
isLNatKind :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
tail, head

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(39) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol tail.

(40) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
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activate(n__snd(X)) → snd(X)
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activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
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n__take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt1_4 :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4 :: Nat → tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
head

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatural = activate
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U191
isNatural = U202
isNatural = fst
isNatural = isPLNat
isNatural = and
isNatural = isNaturalKind
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isLNatKind
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U191
activate = U202
activate = fst
activate = isPLNat
activate = and
activate = isNaturalKind
activate = isPLNatKind
activate = isLNatKind
activate = natsFrom
activate = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U191
isLNat = U202
isLNat = fst
isLNat = isPLNat
isLNat = and
isLNat = isNaturalKind
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isLNatKind
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U191
snd = U202
snd = fst
snd = isPLNat
snd = and
snd = isNaturalKind
snd = isPLNatKind
snd = isLNatKind
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U191
splitAt = U202
splitAt = fst
splitAt = isPLNat
splitAt = and
splitAt = isNaturalKind
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isLNatKind
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U191
head = U202
head = fst
head = isPLNat
head = and
head = isNaturalKind
head = isPLNatKind
head = isLNatKind
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U191
afterNth = U202
afterNth = fst
afterNth = isPLNat
afterNth = and
afterNth = isNaturalKind
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isLNatKind
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U191 = U202
U191 = fst
U191 = isPLNat
U191 = and
U191 = isNaturalKind
U191 = isPLNatKind
U191 = isLNatKind
U191 = natsFrom
U191 = tail
U202 = fst
U202 = isPLNat
U202 = and
U202 = isNaturalKind
U202 = isPLNatKind
U202 = isLNatKind
U202 = natsFrom
U202 = tail
fst = isPLNat
fst = and
fst = isNaturalKind
fst = isPLNatKind
fst = isLNatKind
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNat = and
isPLNat = isNaturalKind
isPLNat = isPLNatKind
isPLNat = isLNatKind
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
and = isNaturalKind
and = isPLNatKind
and = isLNatKind
and = natsFrom
and = tail
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
isPLNatKind = isLNatKind
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
natsFrom = tail

(41) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol head.

(42) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U102(tt, V2) → U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U111(tt, V1) → U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt) → tt
U121(tt, V1) → U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt) → tt
U131(tt, V1, V2) → U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U132(tt, V2) → U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt) → tt
U141(tt, V1, V2) → U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U142(tt, V2) → U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt) → tt
U151(tt, V1, V2) → U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U152(tt, V2) → U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt) → tt
U161(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U171(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U181(tt, Y) → activate(Y)
U191(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U201(tt, N, X, XS) → U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U202(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U21(tt, X) → activate(X)
U211(tt, XS) → activate(XS)
U221(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__snd(V1)) → isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) → isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) → U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N)
sel(N, XS) → U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y)
splitAt(0', XS) → U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(and(isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS))
take(N, XS) → U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
isNaturalKind(X) → n__isNaturalKind(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isLNatKind(X) → n__isLNatKind(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) → isNaturalKind(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(n__isLNatKind(X)) → isLNatKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
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tt :: tt:n__natsFrom:n__isNaturalKind:n__isLNatKind:n__and:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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Generator Equations:
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